2016届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（  ）

A．      B．        C．      D．

2. 难度：简单

若实数，且，则下列不等式恒成立的是（  ）

A．     B．    C．    D．

3. 难度：简单

设集合，，则（  ）

A．  

B．

C．   

D．

4. 难度：简单

设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（  ）

A．      B．      C．     D．

5. 难度：简单

几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（  ）

A．          B．     C．        D．

6. 难度：简单

已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（  ）

A．     

B．     

C．    

D．

7. 难度：简单

函数与的图象关于直线对称，则可能是（  ）

A．       B．        C．      D．

8. 难度：困难

已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（  ）

A．        B．     C．      D．

9. 难度：简单

已知函数满足，当时，，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（  ）

A．               B．

C．        D．

10. 难度：简单

小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（  ）种．

A．         B．         C．      D．

11. 难度：中等

过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为（  ）

A．         B．          C．        D．

二、填空题

12. 难度：简单

已知实数，满足，则的最小值为___________．

13. 难度：简单

已知向量，，则当时，的取值范围是_________．

14. 难度：中等

已知，展开式的常数项为15，则___________．

15. 难度：困难

已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积，已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 ___________．

三、解答题

16. 难度：简单

已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调减区间；

（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的面积．

17. 难度：简单

近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0．6，对服务的好评率为0．75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．

（1）是否可以在犯错误概率不超过0．1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：

①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；

②求的数学期望和方差．

（，其中）

18. 难度：中等

在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，．

（1）证明：为的中点；

（2）若，且二面角的大小为，，的交点为，连接，求三棱锥外接球的体积．

19. 难度：压轴

椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数在点处的切线与直线平行．

（1）求实数的值及的极值；

（2）若对任意，，有，求实数的取值范围；

21. 难度：中等

选修4—1：几何证明选讲．

如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于，两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若．

（1）求证：∽；

（2）求证：四边形是平行四边形．

22. 难度：中等

选修4—4：坐标系与参数方程．

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

（2）若曲线与曲线交于，两点，求的最大值和最小值．

23. 难度：中等

选修4—5：不等式选讲．

设函数．

（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．