Question

在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，．

（1）证明：为的中点；

（2）若，且二面角的大小为，，的交点为，连接，求三棱锥外接球的体积．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件中面面，再利用面面平行的性质可知，从而得证；（2）根据题意可以建立空间直角坐标系，根据二面角的大小可求出的长度，进而进一步通过补形确定外接球的球心与半径．

试题解析：（1）连接，∵面面，面面，面面，∴，即为的中位线，∴为中点；（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，从而，，则，又∵，

∴，则，由题可知，，，，

即三棱锥外接球为以，，为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为，则三棱锥外接球的体积为．

考点：1．面面平行的性质；2．二面角的求解；3．空间向量在立体几何中的运用．