Question

椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer

（1）；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）分析题意可知点为短轴端点时取到最大值，再根据条件中数据求出，，的值即可；（2）设直线的方程为，，，再将以为直径的圆的方程表示出来，说明其方程上有点的坐标与的取值无关即可．

试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为，不妨设，，即，其中，又内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，由，由为定值，因此也取得最大值，即点为短轴端点，因此，，解得，

则椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，， 联立可得，则，，

直线的方程为， 直线的方程为，

则，，假设为直径的圆是否恒过定点，

则，，

，

即，

即，，即，若为直径的圆是否恒过定点，即不论为何值时，恒成立，因此，，或，即恒过定点和．

考点：1．椭圆的标准方程及其性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．圆锥曲线中的定点问题．