2015-2016学年吉林省扶余市高二上学期期末考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

下列说法中，正确的是

A．命题“若，则”的逆命题是真命题

B．命题“存在”的否定是：“任意”

C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D．已知，则“”是“”的充分不必要条件

2. 难度：中等

已知成等差数列，成等比数列，那么的值为

A．          B．                C．            D．

3. 难度：简单

已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为

A．        B．1       C．        D．2

4. 难度：简单

已知不等式 对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为[来

A．4        B．1       C．5        D．3

5. 难度：简单

已知是实数，则“且”是“”的

A．充分而不必要条件   

B．必要而不充分条件

C．充要条件     

D．既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，E为AA₁中点，则异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为

A．              B．             C．           D．

7. 难度：简单

已知双曲线的离心率为，则的值为

A．   B．   C．   D．

8. 难度：简单

已知抛物线的焦点为，直线与交于在轴上方）两点．若，则的值为

A．     B．       C．2       D． 3

9. 难度：简单

已知椭圆上有一点A,它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为

A．    

B．  

C．  

D．

10. 难度：简单

在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a．点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F．则PB与平面EFD所成角为

A．30°       B．45°   C．60°   D．90°

11. 难度：简单

已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为

A．        B．2        C．        D．

12. 难度：中等

已知点是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点，为 的内心，若  成立，则双曲线的离心率为

A．4           B．         C．2             D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为          ．

14. 难度：简单

若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到ｙ轴的距离为        ．

15. 难度：简单

在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、CC₁的中点，则异面直线EF与A₁C₁所成角的大小是_______．

16. 难度：困难

若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是_______．

三、解答题

17. 难度：简单

过椭圆内点M（2,1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程

18. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且|F₁F₂|＝，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7．

（1）求这两曲线方程；

（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F₁PF₂的面积．

19. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．

（1）求|AB|；

（2）若直线的斜率为1，求实数的值．

20. 难度：简单

已知数列中，，其前项的和为，且满足．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：当时，．

21. 难度：中等

如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD

（Ⅱ）求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

22. 难度：简单

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和．

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．