Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和．

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，及椭圆的定义得到又，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点，根据斜率公式求得，把点在双曲线上，即可证明结果；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入可得定值

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意知：，2a+2c=4（+1）所以a=2，c=2，

又=，因此b=2。故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。

所以m=2，

因此双曲线的标准方程为

（Ⅱ）设P（），

则=，。

因为点P在双曲线上，所以。

因此，即

（Ⅲ）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得

所以，所以

同理可得．

则，

又，

所以．

故恒成立．

考点：1．圆锥曲线的综合；2．直线与圆锥曲线的综合问题