Question

中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且|F₁F₂|＝，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7．

（1）求这两曲线方程；

（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F₁PF₂的面积．

Answer

（1）椭圆方程为双曲线方程为；（2）12

【解析】

试题分析：（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在三角形中，利用余弦定理求出 cos∠的值，进一步求得sin∠的值，代入面积公式得答案

试题解析：（1）设椭圆方程为，双曲线方程为 （a，b，m，n>0，且a>b），

则解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，

∴椭圆方程为双曲线方程为

（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，

∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，

∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12．

考点：椭圆双曲线方程及性质