Question

设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．

（1）求|AB|；

（2）若直线的斜率为1，求实数的值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，可得|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|AB|+|BF2|=4，求出|AB|的长；（2）已知L的方程式为y=x+c，其中，联立直线和椭圆的方程，设出，利用韦达定理，求出b的值

试题解析：（1）由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝

（2）因为左焦点，设l的方程为y＝x＋c，其中．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组

化简，得（1＋b2）x2＋2cx＋1－2b2＝0．

则．

因为直线AB的斜率为1，所以．

即．

则，

解得．

考点：椭圆的定义；等差数列的通项公式；直线的斜率