Question

如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD

（Ⅱ）求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．

试题解析：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE？平面ABC，∴PC⊥DE，

∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，

∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，

DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，

∴DE⊥平面PCD

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，

过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，

由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，

以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），

∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），

设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，

故可取=（2，1，1），

由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），

∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==

∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．

考点：1．线面垂直的判定与性质；2．二面角求解