2011-2012学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知z₁=5+3i，z₂=5+4i，下列各式中正确的是（ ）
A．z₁＞z₂
B．z₁＜z₂
C．|z₁|＞|z₂|
D．|z₁|＜|z₂|

2. 难度：中等

归纳推理与类比推理的相似之处为（ ）
A．都是从一般到一般
B．都是从一般到特殊
C．都是从特殊到特殊
D．都不一定正确

3. 难度：中等

函数y=x²cosx的导数为（ ）
A．y′=2xcosx-x²sin
B．y′=2xcosx+x²sin
C．y′=x²cosx-2xsin
D．y′=xcosx-x²sin

4. 难度：中等

复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

5. 难度：中等

过曲线y=x³+x-2上的点P的切线平行于直线y=4x-1，则切点P的坐标为（ ）
A．（0，-1）或（1，0）
B．（1，0）或（-1，-4）
C．（-1，-4）或（0，-2）
D．（1，0）或（2，8）

6. 难度：中等

已知f（x）=x^α，若f'（-1）=-4，则α的值为（ ）
A．4
B．-4
C．5
D．-5

7. 难度：中等

函数y=xlnx的单调递减区间是（ ）
A．（e^-4，+∞）
B．（-∞，e^-1）
C．（0，e^-1）
D．（e，+∞）

8. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1
B．b＜1
C．b＞0
D．b＜

9. 难度：中等

定积分表示（ ）
A．单位圆面积的一半
B．以1为半径的球的表面积的一半
C．以1为半径的球的体积的一半
D．以1为半径的球的体积

10. 难度：中等

已知f（x）=-2x³+6x²+m（m为常数）在[-2，2]上有最小值3，那么此函数在[-2，2]上的最大值为（ ）
A．5
B．11
C．29
D．43

二、填空题

11. 难度：中等

计算：1+2=，1+2+3=，1+2+3+4=，…，1+2+3+…+n=．以上运用的是什么形式的推理？    ．

12. 难度：中等

下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是    （填序号）．

13. 难度：中等

计算所得的结果为    ．

14. 难度：中等

若复数（a²-3a+2）+（a-1）i是纯虚数，则实数a=    ．

15. 难度：中等

曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为    ﹒

16. 难度：中等

观察下列几个三角恒等式：
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
②tan5°tan100°+tan100°tan（-15°）+tan（-15°）tan5°=1；
③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1．
一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°．
（2）已知n≥0，试用分析法证明：．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，a₁=0．
（1）计算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）根据以上计算结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

19. 难度：中等

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

20. 难度：中等

设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R．
（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）设g（x）=f′（x）e^-x．求函数g（x）的极值．