2012-2013学年安徽省芜湖一中高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若集合S={x∈R|2^x≥1}，集合T={y|y=sinx-cosx，x∈R}，则S∪T=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

命题p：∀x∈[1，2]，x²-a≥0；命题q：∃x∈R，x²+2ax+2-a=0，若命题p且q为真，则a取值范围为（ ）
A．a≤-2或a=1
B．a≤-2或1≤a≤2
C．a≥1
D．-2a≤a≤1

4. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

5. 难度：中等

给出30个数：1，2，4，7，11，…，其规律是第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．如图是计算这30个数和的程序框图，则图中（1）、（2）应分别填上的是（ ）

A．i≤30；m=m+i
B．i≤31；m=m+i
C．i≤30；m=m+i-1
D．i≤31；m=m+i-1

6. 难度：中等

已知x，y满足线性约束条件，若=（x，-2），=（1，y），则z=•的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．7
D．5

7. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； 
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
③若m上α，m⊥n，则n∥α；    
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α．
其中，真命题的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，若∃x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a＞2
C．-2＜a＜2
D．a＞2或a＜-2

9. 难度：中等

已知A₁，A₂是椭圆长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果与的夹角不小于，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+5，若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，3]
B．[1，2]
C．[-1，3]
D．[2，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样方法抽取100户调查社会购买力的某项指标，则在低收入家庭中应抽取的户数为    ．

12. 难度：中等

一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是    ．

13. 难度：中等

设曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线f（x）=g（x）+x²在点（1，f（1））处的切线方程为    ．

14. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q、若M（m，n）为线段PQ上的动点，则+的最小值为    ．

15. 难度：中等

设f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b，（a，b∈R⁺）若f（x）≤f（）对一切x∈R恒成立，给出下列结论：
①f（-）=0； ②f（x）的图象关于点（，0）对称；
③f（x）的图象关于直线对称；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤f（x）与的单调区间相同．
其中正确结论的序号是    ．（填上所有正确结论的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知且B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，试求a+c的取值范围．

17. 难度：中等

乳制品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该乳制品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.3	0.35	b	c

（1）若所抽取的20件乳制品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的乳制品记为A₁，A₂，A₃，A₄，等级系数为5的乳制品记为B₁，B₂，现从这6件乳制品A₁，A₂，A₃，A₄，B₁，B₂中任取两件，求取出的两件乳制品的等级系数恰好相同的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积V．

19. 难度：中等

已知函数（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=+4（x≠0），各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，=f（a_n）（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：，S_n为数列{b_n}的前n项和，若S_n＞a对∀n∈N⁺恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，且，|OP|=1（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为k的动直线l交
椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．