Question

已知函数f（x）=+4（x≠0），各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，=f（a_n）（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：，S_n为数列{b_n}的前n项和，若S_n＞a对∀n∈N⁺恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由题设知，由此能得到，从而能求出数列{an}的通项公式．
（2）由，知=（），由此利用裂项求和法能求出Sn=，由Sn＞a对∀n∈N+恒成立，能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=+4（x≠0），
各项均为正数的数列{an}中a1=1，=f（an）（n∈N+），
∴，即，
∴{}是以1为首项4为公差的等差数列．
∴，
∴．…（6分）
（2）∵，
∴
=
=
=（），
∴．…（10分）
∴，
∵Sn＞a对∀n∈N+恒成立，
∴a＜，
故实数a的取值范围是（-∞，）．…（13分）