Question

如图，四棱锥S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积V．

Answer

（1）由线面垂直的性质，结合SA⊥底面ABCD可得SA⊥BD，再由AC⊥BD结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面EBD⊥平面SAC
（2）由线面垂直的判定定理，结合SA⊥底面ABCD，可得平面SAC⊥底面ABCD，过点E作EF⊥AC于F，则EF⊥底面ABCD，代入棱锥体积公式，可得答案．
证明：（1）∵SA⊥底面ABCD
∴SA⊥BD
又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD
又∵SA∩AC=A，SA，AC⊂平面SAC
∴BD⊥平面SAC，
∵BD⊂平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC…（6分）
【解析】
（2）∵SA⊥底面ABCD，
∴平面SAC⊥底面ABCD，过点E作EF⊥AC于F，则EF⊥底面ABCD，
∴EF∥SA，
∵SE=2EC，SA=6，
∴EF=2，
∴V=．…（12分）