Question

设f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b，（a，b∈R⁺）若f（x）≤f（）对一切x∈R恒成立，给出下列结论：
①f（-）=0； ②f（x）的图象关于点（，0）对称；
③f（x）的图象关于直线对称；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤f（x）与的单调区间相同．
其中正确结论的序号是    ．（填上所有正确结论的序号）

Answer

化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（ ） 是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，由此可求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质，对选项逐个判断．
【解析】
f（x）=2asinxcosx+2bcos2x-b=asin2x+bcos2x
=sin（2x+θ），其中tanθ=，所以周期T=π，
又f（x）≤f（）对一切x∈R恒成立，
故x=处为最大值点，即x=为函数图象的对称轴，
故2×+θ=kπ+，解得θ=kπ+，k∈Z，
故f（x）=sin（2x+kπ+）=±sin（2x+），
又x=处为最大值点，故f（x）=sin（2x+），
故①f（-）=）=sin0=0，故正确；
②由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，当k=1时，x=，故图象关于点（，0）对称，故正确；
③由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，令=，解得k=∉Z，故不是对称轴，故错误；
④由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+，故的函数的增区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），故错误；
⑤函数f（x）=sin（2x+）=cos（-2x-）=
cos（）=cos（2x-），故函数f（x）与的单调区间相同，故正确．
故答案为：①②⑤