2012-2013学年湖北省黄石市有色一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设s_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₁=3，a₅=11，则s₇等于（ ）
A．13
B．35
C．49
D．63

2. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中a₂=2，则其前3项的积T₃的取值范围是（ ）
A．（-∞，4]
B．（-∞，8]
C．[4，+∞）
D．[8，+∞）

4. 难度：中等

已知椭圆，则（ ）
A．C₁与C₂顶点相同
B．C₁与C₂长轴长相同
C．C₁与C₂短轴长相同
D．C₁与C₂焦距相等

5. 难度：中等

圆：x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_2n=3（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁a₂a₃=8，则a₁₀等于（ ）
A．-512
B．1024
C．-1024
D．512

8. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知双曲线，F₁是左焦点，O是坐标原点，若双曲线上存在点P，使|PO|=|PF₁|，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．（1，+∞）
C．（1，3）
D．[2，+∞）

10. 难度：中等

在数列{a_n}中，若存在非零整数T，使得a_m+T=a_m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．若数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列的前2010项的和是（ ）
A．669
B．670
C．1339
D．1340

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线的离心率是    ．

12. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=    ．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是    ．

14. 难度：中等

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}，可以推测：
（Ⅰ）b₂₀₁₂是数列{a_n}中的第    项；
（Ⅱ）b_2k-1=    ．（用k表示）

15. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=．现有如下四个结论：
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A-BEF的体积为定值；
④异面直线AE、BF所成的角为定值，
其中正确结论的序号是    ．

16. 难度：中等

已知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanB=，
（I）求∠B；
（II）求函数f（x）=sinx+2sinBcosx，（x）的最小值及单调递减区间．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（Ⅰ）求等差数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．

18. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD．PA=3，AD=2，AB=2，BC=6．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-BD-A的大小．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A（-2，0），离心率e=，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点（不同于点A）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时，求直线PQ的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

21. 难度：中等

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．