Question

已知数列{a_n}满足（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

Answer

（1）分别令n=1，2，3，4可求得a3，a4，a5，a6的值，分类讨论，可得数列{an}的通项公式；
（2）确定数列{bn}的通项，利用错位相减法求数列的和，即可证得结论．
（1）【解析】
分别令n=1，2，3，4可求得：
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N*，则a2m+1-a2m-1=2．
∴{a2m-1}为等差数列，∴a2m-1=1+（m-1）•2=2m-1
即am=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N*，则a2m+2-a2m=0．
∴{a2m}为等比数列，，
故．
综上所述，；
（2）证明：bn=a2n-1•a2n=（2n-1）•
∴Tn=1×+3×+…+（2n-1）•
∴Tn=1×+3×+…+（2n-3）•+（2n-1）•
两式相减可得Tn=+2（++…+）-（2n-1）•=-
∴Tn=3-
∴Tn＜3．