Question

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设双曲线E的方程，利用BD=3DC，△ABC的周长为12，建立方程，即可求得双曲线的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在x轴上存在定点G（t，0），再利用根与系数的关系，求出t的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）设双曲线E的方程为，则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴，解之得a=1，∴．
∴双曲线E的方程为．
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使．
设直线l的方程为x-m=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由，得y1+λy2=0．
即λ=-①
∵=（4，0），=（x1-t-λx2+λt，y1-λy2）
∴x1-t-λx2+λt=0
∴x1-t=λ（x2-t）
即ky1+m-t=λ（ky2+m-t）②
①代入②得2ky1y2+（m-t）（y1+y2）=0③
把x=m+ky代入双曲线，消去x可得（3k2-1）y2+6kmy+3（m2-1）=0
∴y1+y2=，y1y2=
代入③可得-=0
化简可得kmt=k
当t=时，上式恒成立
因此，在x轴上存在定点G（，0），使．