2012-2013学年山东省济宁市鱼台一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．-i
B．i
C．
D．

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，2（a₁+a₄+a₇）+3（a₉+a₁₁）=24，则其前13项和为（ ）
A．13
B．26
C．52
D．156

3. 难度：中等

若数列{a_n}中，a_n=43-3n，则S_n最大值n=（ ）
A．13
B．14
C．15
D．14或15

4. 难度：中等

下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；    
②f（x）=x与；
③f（x）=x与；            
④f（x）=x²-2x-1与g（t）=t²-2t-1．
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④

5. 难度：中等

下列各命题中，不正确的是（ ）
A．若f（x）是连续的奇函数，则
B．若f（x）是连续的偶函数，则
C．若f（x）在[a，b]上连续且恒正，则
D．若f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上恒正

6. 难度：中等

为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

7. 难度：中等

已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a^x与函数g（x）=-log_bx的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁，a₃，a₂成等差数列，则q=（ ）
A．1或-
B．1
C．-
D．-2

9. 难度：中等

若a＞b＞0，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．
B．log₂a＞log₂b
C．a²+b²≤2a+2b-2
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|log₂|x-1||，且关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有6个不同的实数解，若最小实数解为-3，则a+b的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．0
D．不能确定

11. 难度：中等

函数，函数，若存在，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．[1，2]
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

二、填空题

13. 难度：中等

若向量与的夹角是60°，，且则=    ．

14. 难度：中等

计算：=    ．

15. 难度：中等

已知函数，若f（2m+1）＞f（m²-2），则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，如果对任意的n∈N^*，都有（λ为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：
①若数列{F_n}满足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{a_n}满足，则数列{a_n}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
④若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，则数列{a_nb_n}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设，则，求α的值．

18. 难度：中等

命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知△ABC的两边长分别为AB=25，AC=39，且O为△ABC外接圆的圆心．（注：39=3×13，65=5×13）
（1）若外接圆O的半径为，且角B为钝角，求BC边的长；
（2）求的值．

20. 难度：中等

2012年中秋、国庆长假期间，由于国家实行6座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象．长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午6点到中午12点，车辆通过该收费站的用时y（分钟）与车辆到达该收费站的时刻t之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：
y=
求从上午6点到中午12点，通过该收费站用时最多的时刻．

21. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（1）求数列和{b_n}的通项公式；  
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围； 若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），（n∈N^*）．
（1）证明：f（x）≥g₁（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N^*）．