2012-2013学年江苏省南京市四区县高三（上）联考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2，3，4，5}，N={2，4，6，8，10}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

若（1-2i）i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

4. 难度：中等

程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是    ．

5. 难度：中等

若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为    ．

7. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₅=2S₄+3，a₆=2S₅+3，则此数列的公比q为    ．

8. 难度：中等

已知向量=（5，-3），=（9，-6-cosα），α是第二象限角，∥（2-），则tanα=    ．

9. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；
③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．
上面命题中，真命题的序号是    ．       （写出所有真命题的序号）．

10. 难度：中等

函数y=cos²x-sin²x+2sinx•cosx，x的最大值为    ．

11. 难度：中等

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．则椭圆C的离心率为    ．

12. 难度：中等

过圆x²+y²=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|+2|的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a²+b²+c²=84，则实数b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在三角形ABC中，已知，设∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若，其中，求cosβ的值．

16. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

17. 难度：中等

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f（x）=1-ax²（a＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P（t，f（t））．
（1）将△OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S（t）；
（2）若在t=处，S（t）取得最小值，求此时a的值及S（t）的最小值．

18. 难度：中等

如图：已知A，B是圆x²+y²=4与x轴的交点，P为直线l：x=4上的动点，PA，PB与圆x²+y²=4的另一个交点分别为M，N．
（1）若P点坐标为（4，6），求直线MN的方程；
（2）求证：直线MN过定点．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

20. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d≠0，数列{b_n}为等比数列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求数列{b_n}的公比q；
（2）若a_n=b_m，n，m∈N^*，求n与m之间的关系；
（3）将数列{a_n}，{b_n}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{c_n}，是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r）使得p，q，r和c_p+p，c_q+q，c_r+r均成等差数列？说明理由．

21. 难度：中等

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁=[]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2sin（），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

22. 难度：中等

袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．

23. 难度：中等

对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．所有不同的染色方法记为P（n）
（1）求P（3），P（4），P（5）； 
（2）求P（n）