2012-2013学年山西省晋中市平遥中学高三（上）12月质检数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，集合N={x|2x+3＞0}，则（C_RM）∩N=（ ）
A．[-）
B．（-）
C．（-]
D．[-]

2. 难度：中等

下面是关于复数的四个命题：
p₁：Z的虚部为-2
p₂：Z的共轭复数为1-2i
p₃：|Z|=5
p₄：Z在复平面内对应的点位于第三象限．
其中真命题的为（ ）
A．p₁，p₂
B．p₃，p₄
C．p₁，p₄
D．p₂，p₃

3. 难度：中等

若，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

4. 难度：中等

利用数学归纳法证明不等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N^*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（ ）
A．1项
B．k项
C．2^k-1项
D．2^k项

5. 难度：中等

已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）
A．
B．
C．5
D．25

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x-4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等比数列{a_n}的前三项和S₃=18，若a₁，3-a₂，a₃成等差数列，则公比q=（ ）
A．2或
B．-2或
C．-2或
D．2或

8. 难度：中等

设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是（ ）
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
C．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α
D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β

9. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+cosωx，x∈R，f（α）=-2，f（β）=2，且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，则称f（x）为优美函数．在下列四个函数中，优美函数是（ ）
A．f（x）=|x|
B．
C．f（x）=2
D．f（x）=x²

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．（4+π）
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，若对于任意的x∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a 的最小值等于（ ）
A．
B．-3
C．
D．-6

二、填空题

13. 难度：中等

在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有    ．

14. 难度：中等

若点 P（x，y）满足线性约束条件，O为坐标原点，则的最大值    ．

15. 难度：中等

若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³-ax²-bx-2在x=1处有极值，则ab的最大值    ．

16. 难度：中等

若已知函数f（x）=e^x+x²-x，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k恒成立，则k的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求的取值范围．

18. 难度：中等

工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为P=（c为常数，且0＜c＜6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元．
（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=）

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．
（Ⅰ）若S_n=35，求n的值；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

20. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大小；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=4，a_n+1=2S_n-2n+4．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）设，数列{b_n}前n项和为T_n，求证：8T_n＜1．

22. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．