2012-2013学年湖北省荆州中学高三（上）第一次质量检测数学试卷 （理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知S={y|y=2^x}，T={x|y=lg（x-1）}，则S∩T=（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

方程 log₃x+x-3=0 的解所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

3. 难度：中等

集A={a，b}，B={-1，0，1}，从A到B的映射f_A→B满f（a）+f（b）=0，那么这样的映f_A→B的个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．5个
D．8个

4. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）＞1，f（2）=，则 a的取值范围是（ ）
A．a＜
B．a＜且a≠-1
C．a＞或a＜-1
D．-1＜a＜

5. 难度：中等

在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a，b为待定系数）（ ）

x	-2.0	-1.0		1.0	2.0	3.0
y	0.24	0.51	1	2.02	3.98	8.02

A．y=a+b
B．y=a+b^x
C．y=ax²+b
D．y=a+

6. 难度：中等

函数的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，则4m+2n的值等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

设曲线y=xⁿ（n∈N^*）与x轴及直线x=1围成的封闭图形的面积为a_n，设b_n=a_na_n+1，则b₁+b₂+…+b₂₀₁₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），则x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4，且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）与0的大小关系是（ ）
A．f（x₁）+f（x₂）＞0
B．f（x₁）+f（x₂）=0
C．f（x₁）+f（x₂）＜0
D．f（x₁）+f（x₂）≤0

9. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-x-1，g（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b的取值范围是（ ）
A．（2，]
B．[1，+∞）
C．[，+∞）
D．[2，+∞）

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=10，且对于任意x∈R都有f（x+20）≥f（x）+20，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，则g（10）=（ ）
A．20
B．10
C．1
D．0

二、填空题

11. 难度：中等

设集合，集合B={1，a，b}，若A∩B={2}，则集合A∪B的真子集的个数是    ．

12. 难度：中等

先作与函数y=ln的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到图象C₁．又y=f（x）的图象C₂与C₁关于y=x对称，则y=f（x）的解析式是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x|x|+bx+c（b，c∈R），给出如下四个命题：①若c=0，则f（x）为奇函数；②若b=0，则函数f（x）在R上是增函数；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）成中心对称图形；④关于x的方程f（x）=0最多有两个实根．其中正确的命题    ．

14. 难度：中等

已知定义域为R的函数是奇函数
（1）a+b=    ；
（2）若函数有两个零点，则k的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在极坐标系xoy中，定点A（2，π），动点B在直线上运动，则线段AB的最短长度为    ．

16. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）求函数（a＞0，且a≠1）的定义域；
（2）已知函数y=log_ax（a^x-a+2）（a＞0，且a≠1）的值域是R，求a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．
（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长．

19. 难度：中等

三个城市襄阳、荆州、武汉分别位于A，B，C三点处（如右图），且km，BC=40km．今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B、C等距离的O点处，并修建道路OA，OB，OC．记修建的道路的总长度为ykm．
（Ⅰ）设OB=x（km），将y表示为x的函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．

22. 难度：中等

已知：函数，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，；
（ⅱ）．