己知f（x）=Inx-ax2-bx．（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内...

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．

（Ⅰ）依题意可得f（x）=lnx+x2-bx，由f（x）在定义域（0，+∞）上递增，可得≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即对x∈（0，+∞）恒成立，只需（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），对函数求导，利用导数的知识判断函数f（x）在区间（0，1），（1，+∞）上单调性可知当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0，当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即函数f（x）只有一个零点（Ⅲ）由已知得两式相减，得由及2x=x1+x2，得 =，结合导数的知识可证明【解析】（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx f（x）在（0，+∞）上递增，∴≥0对x∈（0，+∞）恒成立即对x∈（0，+∞）恒成立，只需 …（2分） ∵x＞0，当且仅当时取= ∴ ∴b的取值范围为 …（4分）（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞） ∴=…（6分） ∴0＜x＜1时，f′（x）＞0当x＞1时，f′（x）＜0 ∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减 ∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1+1=0 当x≠1时，f（x）＜f（1）=0即 ∴函数f（x）只有一个零点 …（8分）（Ⅲ）由已知得两式相减，得由及2x=x1+x2，得 == ==…（10分）令∈（0，1）且（0＜t＜1） ∴ ∴∅（t）在（0，1）上递减，∴∅（t）＞∅（1）=0 x1＜x2，f′（x）＜0（12分）

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考点分析：

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