Question

已知：函数，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，；
（ⅱ）．

Answer

（Ⅰ）设P（1-x1，y1）是函数f（x）的图象上的任一点，则P关于点的对称点是Q（1+x1，），证明Q也在函数f（x）的图象上，即可得到结论；根据f（1+x1）+f（1-x1）=，f（1）=，利用倒序相加法，即可求得结论；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-．（ⅰ）先证明当n=2时，命题成立，再利用g（x）在[1，+∞）上单调递减，证明n=k+1时，命题成立，即可得到结论；
（ⅱ）先证明＜，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
（Ⅰ）证明：设P（1-x1，y1）是函数f（x）的图象上的任一点，则P关于点的对称点是Q（1+x1，）
∵f（1+x1）+f（1-x1）=[]+[]=
∴f（1+x1）=-f（1-x1）=-y1，
∴Q也在函数f（x）的图象上
∴函数f（x）的图象关于点中心对称；
∵f（1+x1）+f（1-x1）=，f（1）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）+f（2009）+f（2008）+…+f（2）+f（1）+…+f（-2007）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）=5356；
（Ⅱ）证明：g（x）=f′（x）=-．
（ⅰ）（1）当n=2时，a2=g（a1）=-
∵1＜a1＜2，∴1＜a2＜，∴命题成立
（2）假设n=k（k≥2）时，1＜ak＜，则ak+1=g（ak）=-
∵g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1-g（2）＜g（）＜ak+1＜g（1）=
∴n=k+1时，命题成立
由（1）（2）可知，当n≥2时，；
（ⅱ）=
∵，∴＜1
∴＜
∴＜＜…＜＜
∴＜1++…=2-＜2
∴．