Question

已知函数f（x）=lnx-x-1，g（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b的取值范围是（ ）
A．（2，]
B．[1，+∞）
C．[，+∞）
D．[2，+∞）

Answer

首先对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，对g（x）的图象进行讨论根据对称轴研究g（x）的最值问题，从而进行求解；
【解析】
∵函数f（x）=lnx-x-1，（x＞0）
∴f′（x）=-+==，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=-+-1=-；
∵g（x）=x2-2bx+4=（x-b）2+4-b2，对称轴x=b，x∈[1，2]，
当b≤时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1-2b=4=5-2b；
当b＞时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=4-4b+4=8-4b；
∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
当b≤时，≥5-2b，解得b≥，故b无解；当b＞时，≥8-4b，解得b≥，
综上：b≥，
故选C；