2012-2013学年重庆市沙坪坝区青木关中学高三（上）12月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B=（ ）
A．{3，5}
B．{3，6}
C．{3，7}
D．{3，9}

2. 难度：中等

若条件p：，条件q：x²＜5x-6，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列程序执行后输出的结果是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

已知a，b为不相等的正实数，则，，三个数的大小顺序是（ ）
A．＞＞
B．≥≥
C．＞＞
D．＞＞

5. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P-ABCD的表面积为．（ ）

A．（2+）a²
B．（2-）a²
C．2+）
D．（2-）π

6. 难度：中等

圆x²+y²=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．8

7. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin²A-sin²C=（sinA-sinB）sinB，则角C等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是（ ）
A．61
B．62
C．63
D．64

9. 难度：中等

已知向量 且与的夹角为锐角，则k的取值范围是 （ ）
A．（-2，+∞）
B．
C．（-∞，-2）
D．（-2，2）

10. 难度：中等

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF₂|=|F₁F₂|则C的离心（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知i为虚单位，则复数的虚部为    ．

12. 难度：中等

某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的总人数为    ．

13. 难度：中等

设实数x，y满足，则z=的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是    ．

15. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π） 且x≠时，，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos（x+）cos（x-）．
（I）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（II）求函数f（x）在区间[-]上的值域．

18. 难度：中等

某市地铁全线共有四个车站，甲乙两人同时在地铁第一号车站（首发站）乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对（x，y）表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
（1）用有序实数对把甲乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
（2）求甲乙两人同在第3号车站下车的概率；
（3）求甲乙两人在不同的车站下车的概率．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-处都取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求实数c的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C为+y²=1
（1）若一直线与椭圆C交于两不同点M、N，且线段MN恰以点（-1，）为中点，求直线MN的方程；
（2）若过点A（1，0）的直线l（非x轴）与椭圆C相交于两个不同点P、Q试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．