Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-处都取得极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求实数c的取值范围．

Answer

（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可求出a，b的值；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，分析函数的单调性，求出极值点，代入可得函数f（x）的极值；
（3）若对任意x∈[-1，2]，f（x）＜c2恒成立，则函数f（x）在[-1，2]上的最大值＜c2，构造关于c的不等式，解不等式可得实数c的取值范围．
（1）【解析】
（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，
f′（x）=3x2+2ax+b        
由f′（-）=-a+b=0，
f′（1）=3+2a+b=0   
得a=-，b=-2                    
（2）由（1）知f′（x）=3x2-x-2，

x （-1，-） - （-，1） 1 （1，2）
f′（x） + 极大值 - 极小值 +
f（x） ↑ c+ ↓ c- ↑

∴函数f（x）的极大值为c+，极小值为c-
（3）∵f（2）=2+c
∴x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c
∵对于任意的x∈[-1，2]，f（x）＜c2恒成立，
∴只需2+c＜c2
解得c＜-1或c＞2．