2012-2013学年浙江省重点中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线的倾斜角是（ ）
A．30°
B．120°
C．60°
D．150°

2. 难度：中等

已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

两条异面直线a，b在平面α上的投影不可能的是（ ）
A．一点和一条直线
B．两条平行线
C．两条相交直线
D．两个点

4. 难度：中等

已知方程x²+y²-2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）
B．（-2，+∞）
C．（-∞，2）
D．（-∞，1）

5. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
C．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β

6. 难度：中等

下列说法的正确的是（ ）
A．经过定点P（x，y）的直线都可以用方程y-y=k（x-x）表示
B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）的直线都可以用方程（y-y₁）（x₂-x₁）=（x-x₁）（y₂-y₁）表示

7. 难度：中等

已知直线y=ax+b，y=bx+a（ab≠0，a≠b），则它们的图形可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积（ ）

A．有最大值2
B．有最大值4
C．有最大值6
D．有最小值2

9. 难度：中等

直线l₁：x+2y-2=0与直线l₂：ax+y-a=0交于点P，l₁与y轴交于点A，l₂与x轴交于点B，若A，B，P，O四点在同一圆周上（其中O为坐标原点），则实数a的值是（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

10. 难度：中等

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA₁，DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）
A．
B．1
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

经过圆x²+2x+y²=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是    ．

12. 难度：中等

已知实数x、y满足不等式组，则z=3x+4y的最大值是    ．

13. 难度：中等

底面半径为2的圆锥的侧面展开图是半圆，则其侧面积为    ．

14. 难度：中等

光线从点M（-2，3）射到x轴上一点P被反射后经过N（2，4），则光线从M到N经过的路程为    ．

15. 难度：中等

已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设点P（x，y），定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点．对于下列结论：
①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设点P是直线：上任意一点，则；
③设点P是直线：y=kx+1（k∈R）上任意一点，若使得[OP]最小的点P有无数个，则k的值是k=±1；
④设点P是圆x²+y²=1上任意一点，则．
其中正确的结论序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

求过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点M是PD的中点，求异面直线AD与CM所成角的余弦值．

19. 难度：中等

已知直线l：x+ay+1-a=0．
（Ⅰ）若l与线段AB有交点，其中A（-2，-1），B（1，1），求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若l与x轴的负半轴交M点，交y轴正半轴于N，求△OMN的面积最小时直线l的方程．

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值．