2012-2013学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={0，2}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a=    ．

2. 难度：中等

若sin，tanθ＞0，则cosθ    ．

3. 难度：中等

写出命题：“∀x∈R，sinx＜x”的否定：    ．

4. 难度：中等

幂函数f（x）=x^α（α为常数）的图象经过（3，），则f（x）的解析式是    ．

5. 难度：中等

若a+a^-1=3，则的值为    ．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=的定义域为A，2∉A，则a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是增函数，若f（lgx）＜f（1），则x的取值范围是    ．

8. 难度：中等

设数列{a_n}是首相大于零的等比数列，则“a₁＜a₂”是“数列{a_n}是递增数列”的    条件．

9. 难度：中等

若向量=（x，2x），=（-3x，2），且的夹角为钝角，则x的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知函数y=在区间（]上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

给出下列命题：
①存在实数x，使得；
②函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象；
③函数是偶函数；
④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．
其中正确的命题的个数为    ．

12. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，且，则=    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}中，，则数列{a_n}的前2012项的和为    ．

14. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f^′（x）＜1，则不等式f（x²）＜x²+1的解集为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且
（1）求角A；    （2）求值：．

17. 难度：中等

设函数．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）写出函数图象的一个对称中心．

18. 难度：中等

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（1）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=4，a₂=，a_n+1=，b_n=．
（1）证明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（2）设c_n=log₃，求数列{c_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，数列{a_nb_n}的前n项和为{P_n}，求证：S_n+T_n＜P_n+．（n≥2）