2012-2013学年广东省广州市铁一中学高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A={1，2，4，6}，B={3，4，5}，U={1，2，3，4，5，6}，求C_uA∪B=（ ）
A．{1，2，3，4，5，6}
B．{1，2，4，6}
C．{2，4，5}
D．{3，4，5}

2. 难度：中等

函数是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

3. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x²-x，则f（1）=（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

4. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₄=15，S₅=55，则过点P（3，a₃），Q（4，a₄）的直线斜率为（ ）
A．4
B．
C．-4
D．-

5. 难度：中等

已知向量，，且，则实数x的值为（ ）
A．
B．-2
C．2
D．

6. 难度：中等

已知p：直线l₁：x-y-1=0与直线l₂：x+ay-2=0平行，q：a=-1，则p是q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆=1的两焦点，经点F₂的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF₁|+|BF₁|等于（ ）
A．16
B．11
C．8
D．3

8. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．32π
B．16π
C．12π
D．8π

9. 难度：中等

设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（ ）
A．
B．2
C．
D．4

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4．记函数f（x）满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+1＜0”的否定是    ．

12. 难度：中等

某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000）（元）段应抽出    人．

13. 难度：中等

函数的定义域为    ．

14. 难度：中等

△ABC中，AB=2，BC=，A=45°，∠B为△ABC中最大角，D为AC上一点，AD=DC，则BD=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

某校高一年级要从3名男生a，b，c和2名女生d，e中任选3名代表参加学校的演讲比赛．
（1）求男生a被选中的概率；
（2）求男生a和女生d至少一人被选中的概率．

17. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

18. 难度：中等

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令，证明：．

20. 难度：中等

已知圆M：（x-m）²+（y-n）²=γ²及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足=2，•=0．
（Ⅰ）若m=-1，n=0，r=4，求点G的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若动圆M和（Ⅰ）中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．