2012-2013学年广东省梅州市五华县皇华中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，若集合S={-1.0.1}，则（ ）
A．i∈S
B．i²∈S
C．i³∈S
D．

2. 难度：中等

在下列区间中，函数f（x）=3^x-x²有零点的区间是（ ）
A．[0，1]
B．[1，2]
C．[-2，-1]
D．[-1，0]

3. 难度：中等

函数y=log₂x+3（x≥1）的值域是（ ）
A．[2，+∞）
B．（3，+∞）
C．[3，+∞）
D．（-∞，+∞）

4. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

函数f（x）=ln（1-x²）的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．x-y-2=0
B．x+y-2=0
C．x+4y-5=0
D．x-4y+3=0

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥
B．m＞
C．m≤
D．m＜

8. 难度：中等

关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为x₁，x₂，若0＜x₁＜1＜x₂＜2，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，AD=DE，AB=8，BD=6，则=    ．

10. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，圆O经过B、C且与AB、AC分别相交于D、E．若AE=EC=，则圆O的半径r=    ．

11. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，，则AC的长为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x³+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（-a）的值为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为   

14. 难度：中等

已知P（x，y）是函数y=e^x+x图象上的点，则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（x-），x∈R．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B=2A，且b=2af（A-），求角C的大小．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；
（2）若y=f（x）在区间[-5，5]上是单调增函数，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x，g（x）=+2．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求满足方程f（x）-g（x）=0的x的值．

19. 难度：中等

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）当时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．