2012-2013学年浙江省金华市永康市明珠学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设U为全集，对集合A，B，定义运算“*”：A*B=C_U（A∩B）．若A={x|y=log₂（-x²+2x）}，B={y|y=-x²+2x}，则A*B=（ ）
A．（0，1]
B．（0，1）
C．（-∞，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，0]∪（1，+∞）

2. 难度：中等

△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

3. 难度：中等

设{a_n}（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆=S₇＞S₈，则下列结论错误的是（ ）
A．d＜0
B．a₇=0
C．S₉＞S₅
D．S₆与S₇均为S_n的最大值

4. 难度：中等

在△ABC中，已知，则的值为（ ）
A．-2
B．2
C．±4
D．±2

5. 难度：中等

棱长为1的正四面体中，连接四个面的中心，得到一个正四面体，再连接此正四面体的中心，又得到一个正四面体，如此操作下去，则包括原正四面体在内的所有依次得到正四面体的体积组成等比数列，则公比是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知A为三角形的一个内角，sin（A+）=，则cosA=（ ）
A．-
B．-
C．或-
D．或-

7. 难度：中等

等比数列{a_n}前n项乘积记为M_n，若M₁₀=20，M₂₀=10，则M₃₀=（ ）
A．1000
B．40
C．
D．

8. 难度：中等

若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α

9. 难度：中等

f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[3，+∞）
D．（0，3]

10. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列结论错误的是（ ）
A．∀x₁，x₂∈（0，+∞），（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0
B．∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
C．∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
D．∃x₁，x₂∈（0，+∞），

二、填空题

11. 难度：中等

在三角形ABC中，已知AB=4，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为    ．

12. 难度：中等

已知函数，则f（2009）=    ．

13. 难度：中等

观察如图所示几何体的三视图：俯视图是边长为4cm的正方形，中间是直径为2cm的圆，正视图矩形高为8cm，该几何体的表面积为    ．

14. 难度：中等

非零向量，满足，，则与的夹角的最小值是    ．

15. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，在（-∞，0）上有2xf′（2x）+f（2x）＜0且f（-2）=0，则不等式xf（2x）＜0的解集为    ．

16. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，EF∥BC且AE=2EB，G为BC中点，K为△ADF的外心，沿EF将矩形折成一个120°的二面角A-EF-B，则此时KG的长是    ．

17. 难度：中等

给定正整数n（n≥2）按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l，2，3，…，n，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数（比上一行少一个数），依此类推，最后一行（第n行）只有一个数，例如n=6时数表如图所，则当n=2009时最后一行的数是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，b），=（b，c）．
（1）若向量，求满足的角B的值；
（2）若=2b²，且A-C=，求cosB的值．

19. 难度：中等

数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；      
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值；
（Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为．

21. 难度：中等

设f（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（1）方程f（x）=0有实数根；
（2）-2＜＜-1；
（3）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实数根，则≤|x₁-x₂|．

22. 难度：中等

已知函数f （x）=e^g（x），g （x）=（e是自然对数的底），
（1）若函数g （x）是（1，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）若对任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求满足条件的最大整数k的值；
（3）证明：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞2n-3 （n∈N*）．