2012-2013学年安徽省池州一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合B={y|y=cosx，x∈R}，B={x|x²＜9}，那么A∩B（ ）
A．∅
B．[-1，3）
C．（1，3）
D．[-1，1]

3. 难度：中等

已知F₁、F₂为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

一机构为调查某地区中学生平均每人每周零花钱X（单位：元）的使用情况，分下列四种情况统计：①0≤X≤10；②10＜X≤20；③20＜X≤30；④X＞30．调查了10000名中学生，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是7300，则平均每人每周零花钱在[0，20]元内的学生的频率是（ ）

A．0.73
B．0.80
C．0.20
D．0.27

6. 难度：中等

若函数y=a^x+b的图象如图，则函数的图象为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x，y满足线性约束条件，若=（x，-2），=（1，y），则z=•的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．7
D．5

8. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1），则a₆=（ ）
A．3×4⁴
B．3×4⁴+1
C．4⁴
D．4⁴+1

9. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

.函数f（x）=．给出函数f（x）下列性质：（1）f（x）的定义域和值域均为[-1，1]；（2）f（x）是奇函数；（3）函数在定义域上单调递增；（4）函数f（x）有两零点；（5）A、B为函数f（x）图象上任意不同两点，则．则函数f（x）有关性质中正确描述的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：

专业 性别	非统计专业	统计专业
男	13	10
女	7	20

为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到Χ²=    （保留三位小数），所以判定    （填“有”或“没有”）95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．

12. 难度：中等

设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4）且⊥，∥，则|+|=    ．

13. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-4x=0，l过点P（3，0）的直线，则l与C的位置关系是    （填“相交”、“相切”、“相离”或“三种位置关系均有可能”）．

14. 难度：中等

函数的导函数y=f'（x）的部分图象如图所示：图象与y轴交点，与x轴正半轴的交点为A、C，B为图象的最低点，则函数y=f'（x）在点C处的切线方程为    ．
注：（f[g（x）]）′=f′[g（x）]•g′（x）

15. 难度：中等

对于下列命题：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②已知a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，则△ABC有两组解；
③设，，，则a＞b＞c；
④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

17. 难度：中等

某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2011级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下：（单位：cm）
南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163；
北方：183，173，169，163，179，171，157，175，178，166；
（1）根据抽测结果，画出茎叶图，并根据你画的茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出两个统计结论；
（2）若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的大学生中随机抽取3名同学，其中身高不低于平均身高的同学的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．

18. 难度：中等

已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（I）若f′（-1）=0，求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（II）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

19. 难度：中等

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA₁、CC₁上的动点，AE+CF=8．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求CF．

20. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，离心率为，在x轴负半轴上有一点B，且．
（1）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和，问是否存在正整数n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．