Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA₁、CC₁上的动点，AE+CF=8．
（Ⅰ）证明：BD⊥EF；
（Ⅱ）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求CF．

Answer

（1）证明BDBD⊥平面AA1C1C，即可得到结论；
（2）利用线面平行的性质得到线线平行，再利用线之间的数量关系，就可求得CF的长．
（1）证明：连接AC，由ABCD是菱形得，AC⊥BD
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABC
∴AA1⊥BD
∵AA1∩AC=A
∴BD⊥平面AA1C1C
∵EF⊂平面AA1C1C
∴BD⊥EF
（2）【解析】
连AC交BD与O，
∵EF∥平面PBD
∴EF∥PO
过点C作CQ∥OP交AA1于点Q
∵EF∥PO
∴EF∥QC
∴QE=CF
∵四边形EFCQ为菱形．
∴O为AC的中点
∴P为AQ的中点
∴PQ=AP=2
∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8
∴CF=2