Question

设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足S₄=8且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：，n∈N^*，T_n为数列{b_n}的前n项和，问是否存在正整数n，使得T_n=2012成立？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）设数列{an}的公差为d，且d≠0，利用S4=8且a1、a2、a5成等比数列，建立方程组，求出基本量，即可求得数列的通项；
（II）确定数列的通项，求出数列{bn}的前n项和，进而可结论．
【解析】
（I）设数列{an}的公差为d，且d≠0
∵S4=8且a1、a2、a5成等比数列，
∴
解得或（舍去）…（3分）
∴…（6分）
（II）由题知：=，
∴Tn=22+23+…+2n-1+= …（10分）
若Tn=2012，则=2012，即n2+2n+3=4032
令f（n）=n2+2n+3，知f（n）单调递增，
当1≤n≤8时，f（n）≤82+211=2112＜4032
当n≥9时，f（n）≥92+212=4177＞4032，
故不存在正整数n，使得Tn=2012成立． …（14分）