2011-2012学年广东省实验中学高三（上）第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={y|y=2^|x|，x∈R}，N={x∈R|x²-4≥0}，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）

A．（-∞，2）
B．[2，+∞）
C．[1，2）
D．（1，2）

2. 难度：中等

给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为（ ）
①命题“存在x∈R，≤0”的否定是“．对任意的x∈R，2^x＞0”；
②函数的对称中心为（kπ，0），k∈Z；
③=-2；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）．
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

，，则cos（π-α）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-

4. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x+x-9的零点为x，则x所在区间为（ ）
A．[-，-]
B．[-，]
C．[，]
D．[，]

5. 难度：中等

函数的单调减区间为（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，4）和（4，+∞）
C．（-∞，4）和（4，+∞）
D．（-∞，+∞）

6. 难度：中等

设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示为函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中（A、B分别为函数图象上的最高点、最低点），f（0）=1那么直线AB与函数f（x）的图象围成的封闭图形的面积为（ ）

A．0
B．-3
C．+3
D．以上都不对

8. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立，则f（2011）等于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

若全集U={0，1，2，4，16}，集合A={0，2，a}，，则a的值为    ．

10. 难度：中等

函数的图象在处的切线方程为    ．

11. 难度：中等

函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值范围为    ．

12. 难度：中等

若函数，则f（0.1）+f（0.2）+f（0.3）+…+f（0.9）=    ．

13. 难度：中等

已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=-，则sinα+cosβ=    ．

14. 难度：中等

某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不予优惠；
②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某两人去购物，分别付款170元和441元，若他们合并去一次购买上述同样的商品，则可节约    _元．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）
（I）求f（）的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．
（1）求证：函数f（x）的图象关于原点成中心对称．
（2）a≥2是A∩B=Φ的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．

17. 难度：中等

已知定义在区间上的函数y=f（x）图象关于直线对称，当时，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的图象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程有解，将方程所有的解的和记为M，结合（1）中函数图象，求M的值．

18. 难度：中等

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）

	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

19. 难度：中等

设函数f（x）=ln（x+a）+x²，
（1）若a=，解关于x不等式；
（2）证明：关于x的方程2x²+2ax+1=0有两相异解，且f（m）和f（n）分别是函数f（x）的极小值和极大值（m，n为该方程两根，且m＞n）．

20. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且当x≠o时，f（x）≠0．
（1）求证：f（0）=0
（2）证明：f（x）是偶函数．并求f（x）的表达式
（3）若f（x）=alnx有两个不同实数解，求a的取值范围．