2011-2012学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“∀x∈R，≥2”的否定是（ ）
A．∃x∈R，≥2
B．∃x∈R，＜2
C．∀x∈R，＜2
D．∃x∈R，≤2

2. 难度：中等

若条件p：log₂x＜2，条件q：0，则¬p是¬q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为2，则该直角三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若a，b，c是△ABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1相离，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形

5. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
其中真命题的序号是（ ）
A．①③④
B．①②③
C．①③
D．②④

6. 难度：中等

在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C-sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[，π）
C．（0，]
D．[，π）

7. 难度：中等

如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为（ ）
A．
B．9
C．
D．-9

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O是原点，=（1、0），P是平面内的动点，如，则P点的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

9. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，则四棱锥P-ABCD的全面积为（ ）

A．
B．
C．5
D．4

10. 难度：中等

已知，且关于x的函数在R上有极值，则的夹角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

把函数f（x）=x³-3x的图象C₁向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C₂、若对任意的u＞0，曲线C₁与C₂至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

12. 难度：中等

定义一个对应法则f：P（m，n）→，（m≥0，n≥0）．现有点A（1，3）与点B（3，1），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M'．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M'所经过的路线长度为（ ）
A．
B．2
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知，，则tan（α+β）=    ．

14. 难度：中等

设向量，，其中0＜α＜β＜π，若，则β-α=    ．

15. 难度：中等

已知三棱柱，底面是正三角形，侧棱和底面垂直，直线B₁C和平面ACC₁A₁成角为30°，则异面直线BC₁和AB₁所成的角为    ．

16. 难度：中等

关于函数y=f（x），有下列命题：
①若a∈[-2，2]，则函数的定义域为R；
②若，则f（x）的单调增区间为；
③若，则值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
④定义在R上的函数f（x），若对任意的x∈R都有f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），则4是y=f（x）的一个周期；
⑤已知a＞0，b＞0，则的最小值是4．     
其中真命题的编号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（Ⅱ）求函数g（x）的值域．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（3n-2）a_n，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

19. 难度：中等

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，．
（1）求公差d的值；
（2）若，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值；
（3）若对任意的n∈N^*，都有b_n≤b₈成立，求a₁的取值范围．

20. 难度：中等

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+a•lnx．
（1）若函数f（x）在区间（0，1]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知向量，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）记，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求f（A）的取值范围．