2011-2012学年浙江省杭州市严州中学高二（上）10月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线x=1的倾斜角和斜率分别是（ ）
A．45°，1
B．135°，-1
C．90°，不存在
D．180°，不存在

2. 难度：中等

设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（ ）
A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α
B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β
C．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b
D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α

3. 难度：中等

过点（2，0），且斜率为3的直线方程为（ ）
A．y=3x+2
B．y=3x-2
C．y=3（x-2）
D．y=3（x+2）

4. 难度：中等

已知二面角α-AB-β为30°，P是平面α内的一点，P到β的距离为1．则P在β内的射影到AB的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）
A．3
B．6
C．
D．

6. 难度：中等

设l，m是不同的直线，α，β，γ，，是不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α
B．若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α
C．若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥m或l⊂β

7. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．2000cm³
D．4000cm³

8. 难度：中等

已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x+2y=5
B．4x-2y=5
C．x+2y=5
D．x-2y=5

9. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

10. 难度：中等

二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，AC⊂α，BC⊂β，∠BCF=45°，∠ACB=60°，则AC与平面β所成的角等于（ ）
A．60°
B．30°
C．45°
D．75°

二、填空题

11. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB₁C，则线段EF的长度等于    ．

12. 难度：中等

已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知定点A（2，-5），动点B在直线2x-y+3=0上运动，当线段AB最短时，求B的坐标．

四、填空题

14. 难度：中等

设直线l和平面α．β，且l⊄α，l⊄β，给出如下三个论断：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β，从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是    ．

五、解答题

15. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC₁；
（II）求证：AC₁∥面CDB₁．

16. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面ADE．
（ II）求BD和平面ADE所成角的正切值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．

18. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．

19. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁？试画出图形；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，求平面AB₁E与平面ABCD所成二面角的余弦值．