Question

二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，AC⊂α，BC⊂β，∠BCF=45°，∠ACB=60°，则AC与平面β所成的角等于（ ）
A．60°
B．30°
C．45°
D．75°

Answer

在AC上取一点G，在平面α内过G点作GD⊥EF于D，在平面β内过点D作DH⊥BC于H，连接GH．先利用平面α与平面β互相垂直，证出CD是直线AC在平面β内的射影，得到∠GCD是直线AC与平面β所成的角，再利用直线与平面垂直的判定定理，证出BC⊥平面GDH，从而得到BC⊥GH．设CH=1，分别在Rt△CGH中和Rt△CDH中利用余弦的定义，计算出CG=2，CD=，最后在Rt△GCD中，计算出∠GCD的余弦值为，可得∠GCD=45°，从而AC与平面β所成的角等于45°．
【解析】
如图，在AC上取一点G，在平面α内过G点作GD⊥EF于D，在平面β内过点D作DH⊥BC于H，连接GH
∵二面角α-EF-β是直二面角，∴α⊥β
∵α∩β=EF，GD⊂α，GD⊥EF，
∴GD⊥平面β，
∴∠GCD是直线AC与平面β所成的角，
∵BC⊂平面β，∴BC⊥GD
又∵BC⊥DH，GD∩DH=D，GD、DH⊂平面GDH
∴BC⊥平面GDH
∵GH⊂平面GDH，∴BC⊥GH，
Rt△CGH中，∠GCH=60°，设CH=1，则CG==2，
Rt△CDH中，∠DCH=45°，得CD==
∴Rt△GCD中，cos∠GCD=，可得∠GCD=45°
即AC与平面β所成的角等于45°
故选C