2008-2009学年广东省韶关市田家炳中学、乳源高级中学联考高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1-i，则=（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

下面关于a，b的不等式推断正确的是（ ）
A．
B．a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd
C．a＞b，c＜d⇒a-c＞b-d
D．

3. 难度：中等

函数y=xe^x的导数是（ ）
A．f′（x）=（1+x）e^x
B．f′（x）=xe^x
C．f′（x）=e^x
D．f′（x）=2xe^x

4. 难度：中等

若双曲线=1的焦点为F₁，F₂，P是双曲线上的一个点，则||PF₁|-|PF₂||的值为（ ）
A．9
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知集合A={1，3，5，7，9，11}，B={2，4，17}．试以集合A和B中各取一个数作为点的坐标，在同一直角坐标系中所确定的不同点的个数是（ ）
A．32
B．33
C．34
D．36

6. 难度：中等

设集合M={a|∀x∈R，x²+ax+1＞0}，集合N={a|∃x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为的棱BB₁的中点，则异面直线AM与BD₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（-∞，-3）

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y²=-x的焦点坐标为    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=x³-ax²+2的一个极值点是2，则a=    ，此函数在区间[-1，1]上的最大值是    ．

11. 难度：中等

已知，，若，则实数n=    ．

12. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和为，则a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a₉₉=    ．

13. 难度：中等

观察下列不等式：≥，≥，≥，…，由此猜测第n个不等式为    ．（n∈N*）

14. 难度：中等

“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的    倍．

三、解答题

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=1，S₁₁=33．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

16. 难度：中等

如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
（Ⅰ）求CB、CD；
（Ⅱ）求cos∠CBD的值；
（III）求AE．

17. 难度：中等

一个特殊模具容器横断面如图所示：内壁是抛物线的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的两腰AF、BE及底AB围成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，点O到EF的距离是8厘米，BE所在直线与抛物线相切于点E．
（Ⅰ）求切线BE的方程和容器的高h；
（Ⅱ）求这个容器横断面的面积（阴影部分）

18. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为CC′、DD′上的点，且CF=2GD=2．求：
（Ⅰ）C′到面EFG的距离；
（Ⅱ）DA与面EFG所成的角的正弦值；
（III）在直线BB'上是否存在点P，使得DP∥面EFG？，若存在，找出点P的位置，若不存在，试说明理由．

19. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

已知函数，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．