2008-2009学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（选修2-1）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列语句为命题的是（ ）
A．1+1＞2
B．2009¹⁰⁰是个大数
C．x²-1=0
D．指数函数是递增函数吗

2. 难度：中等

抛物线x²=-8y的准线方程是（ ）
A．y=2
B．
C．
D．y=-2

3. 难度：中等

将a²+b²+2ab=（a+b）²改写成全称命题是（ ）
A．∀a＞0，b＞0，a²+b²+2ab=（a+b）²
B．∀a，b∈R，a²+b²+2ab=（a+b）²
C．∃a＜0，b＞0，a²+b²+2ab=（a+b）²
D．∃a，b∈R，a²+b²+2ab=（a+b）²

4. 难度：中等

“ab＜0”是“曲线ax²+by²=1为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

已知命题p：，则命题p的否定¬p是 （ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

椭圆11x²+20y²=220的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．（3，0），（-3，0）
D．（0，3），（0，-3）

7. 难度：中等

已知A=（2，-4，-1），B=（-1，5，1），C=（3，-4，1），若，，则对应的点为（ ）
A．（5，-9，2）
B．（-5，9，-2）
C．（5，9，-2）
D．（5，-9，-2）

8. 难度：中等

与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知，，且=2，则x的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

10. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

11. 难度：中等

已知，，若∥，则（ ）
A．x=6，y=15
B．x=3，y=
C．x=3，y=15
D．x=6，y=

12. 难度：中等

O、A、B、C为空间四边形四个顶点，点M、N分别是边OA、BC的中点，且=，=，=，用，，表示向量为（ ）
A．（+-）
B．（+-）
C．（+-）
D．（++）

13. 难度：中等

设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知p：2+2=5，q：3＞2，则下列判断中，错误的是（ ）
A．p或q为真，非q为假
B．p且q为假，非p为真
C．p且q为假，非p为假
D．p且q为假，p或q为真

15. 难度：中等

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若=0，则的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

16. 难度：中等

过边长为1的正方形ABCD顶点A，作线段EA⊥平面ABCD，若EA=1，则平面ADE与平面BCE所成二面角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．150°

17. 难度：中等

如图，正棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，若二面角C-AB-C₁的大小为60°，则点C到平面C₁AB的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1

19. 难度：中等

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（ ）

A．θ＞φ，m＞n
B．θ＞φ，m＜n
C．θ＜φ，m＜n
D．θ＜φ，m＞n

20. 难度：中等

已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动．则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小体积值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

21. 难度：中等

曲线与x²+y²=5的交点是    ．

22. 难度：中等

若向量，，则cos＜＞=    ．

23. 难度：中等

方程表示的曲线是    ．

24. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则B、D之间的距离为    ．

三、解答题

25. 难度：中等

已知，，．
（I）求；
（ II）求．

26. 难度：中等

已知点P（3，4）是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，且．
（I）求椭圆的方程；
（ II）求△PF₁F₂的面积．

27. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，过点D作D₁C的垂线交CC₁于点E，交D₁C于点F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点BE到平面A₁D₁C所成角的正弦值．

28. 难度：中等

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足•＜6（其中O为原点），求k的取值范围．