2011年5月福建省福州三中月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=x²}，N={（x，y）|y=x²}，则集合M∩N中元素的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个

2. 难度：中等

设z=1+i（i是虚数单位），则等于（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．-i
D．-1-i

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₅+a₉-a₇=10，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S₁₃的值为（ ）
A．260
B．168
C．156
D．130

4. 难度：中等

设f（x）=，则f（-1）=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．

5. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的t=（ ）

A．96
B．120
C．144
D．300

6. 难度：中等

对于直线l和平面α，β，下列命题中，真命题是（ ）
A．若α∥β且l∥β，则l∥α
B．若l⊂β且α⊥β，则l⊥α
C．若l⊥β且α⊥β，则l∥α
D．若l⊥β且α∥β，则l⊥α

7. 难度：中等

在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．即不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足且c＜0，则含有f（x）零点的一个区间是（ ）
A．（-2，0）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（0，2）

9. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

10. 难度：中等

如图，圆O过正方体六条棱的中点A_i（i=1，2，3，4，5，6），此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧A_iA_i+1在圆O中所对的圆心角为α_i（i=1，2，3，4，5），弧A₆A₁所对的圆心角为α₆，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

曲线的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为20，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1-x）=1-f（x）．则=（ ）
A．
B．
C．1
D．

二、填空题

13. 难度：中等

某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有    名学生．

14. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积为    ．

15. 难度：中等

平面向量、满足，且||=2，||=4，则与的夹角等于    ．

16. 难度：中等

已知两点M（-3，0），N（3，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=10，则称该直线为“A型直线”，给出直线：①；②y=2x+3；③y=x+10；④y=-5x+1，其中是“A型直线”的是    ．（填序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC面积S的最大值．

18. 难度：中等

．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，N是棱PB的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．
（1）求证：平面OMN∥平面PAD；
（2）若DM与平面PAC所成角的正切值为2，求PA长．

20. 难度：中等

某旅游景点2010年利润为100万元，因市场竞争，若不开发新项目，预测从2011年起每年利润比上一年减少4万元．2011年初，该景点一次性投入90万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2011年为第1年）的利润为100（1+）万元．
（1）设从2011年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为A_n万元，开发新项目的累计利润为B_n万元（须扣除开发所投入资金），求A_n、B_n的表达式；
（2）依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？

21. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm²]，试求实数λ的最小值．