Question

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm²]，试求实数λ的最小值．

Answer

（1）根据m的范围可确定x的范围，从而可以去掉函数内的绝对值符号，然后利用导数可证明增函数．
（2）先构造一个函数g（x），即没有参数m限制的函数f（x），分段取绝对值符号变成分段函数，然后分别在各段内用导数判断导数的单调性，从而确定g（x）最值，从中确定满足条件的参数m的取值范围．
（3）根据第（2）问得出的参数m的取值范围，确定参数m的讨论点，通过各段内的最大值等于λm2 得出实数λ的取值范围，通过λ在各段的取值范围确定最小值．
【解析】
（1）∵m＜1，且x∈[0，m]
∴0≤x＜1，∴0≤x2＜1，∴x2-3＜0
此时，f（x）=-x（x2-3）=-x3+3x
∵f′（x）=-3x2+3
∵0≤x2＜1
∴-3＜-3x2≤0
∴f′（x）=-3x2+3＞0
故此时，函数f（x）是增函数
（2）令g（x）=x|x2-3|，x≥0
则
当时，g′（x）=3-3x2=0 得x=1
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，]上是减函数
当x时，由g′（x）=3x2-3＞0，所以g（x）在[，+∞）上是增函数
所以当时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（）=0
从而0＜m＜1均不符合题意，1≤m≤均符合题意
当m，在时，f（x）∈[0，2]；时，f（x）∈[0，f（m）]
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2
即m3-3m≤2，（m-2）（m+1）2≤0，解得：
综上所述，m的取值范围是[1，2]
（3）据（2）知，当0＜m＜1时，函数f（x）的最大值是f（m）=3m-m3
由题意可知，3m-m3=λm2，即，是减函数，故λ的取值范围是（2，+∞）
当1≤m≤2时，函数f（x）的最大值是f（1）=2
由题意可知，2=λm2，即，是减函数，故λ的取值范围是
当m＞2时，函数f（x）的最大值是f（m）=m3-3m
由题意可知，m3-3m=λm2，即，是增函数，故λ的取值范围是
综上所述，λ的最小值是，且此时m=2