2009-2010学年北京五中高三（上）开学数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=log₂（x-1）}，B={y|y=2^x+1，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．φ
B．（1，3）
C．（3，+∞）
D．（1，+∞）

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²-2x+4≤0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x²-2x+4≥0
B．∀x∉R，x²-2x+4≤0
C．∃x∈R，x²-2x+4＞0
D．∃x∉R，x²-2x+4＞0

3. 难度：中等

已知a，b∈R，则“log₃a＞log₃b”是“（）^a＜（）^b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

将函数y=sinx的图象经过下列哪种变换可以得到函数y=cos2x的图象（ ）
A．先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
C．先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位，然后再沿x轴将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

5. 难度：中等

四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24

6. 难度：中等

已知f（x）=a^x+b的图象如图所示，则f（3）=（ ）

A．
B．
C．
D．或

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+c，其中0≤b≤4，0≤c≤4．记函数f（x）满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 取函数f（x）=2-x-e^-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有f_k（x）=f（x），则（ ）
A．K的最大值为2
B．K的最小值为2
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1

二、填空题

9. 难度：中等

设集合A={x|log₂x＜1}，B={x|＜0}，则A∩B=    ．

10. 难度：中等

若（ax-1）⁵的展开式中x³的系数是-80，则实数a的值是     ．

11. 难度：中等

若随机变量X～N（μ，σ²），则P（X≤μ）=    ．

12. 难度：中等

已知函数若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于    ．

14. 难度：中等

定义一个对应法则f：P（m，n）→P（，），（m≥0，n≥0）．现有点A（2，6）与点B（6，2），点M是线段AB上一动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+2bcos²x，且f（0）=8，f（）=12．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

17. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，CB=CD=2 ，AA₁=，AB⊥BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：BD⊥A₁C；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（3）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

18. 难度：中等

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+alnx（a∈R）
（1）若f（x）[1，e]上是增函数，求a的取值范围；
（2）若a=1，a≤x≤e，证明：f（x）x³．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试证明∃x∈（x₁，x₂），使成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对∀x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对∀x∈R，都有．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．