Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2bcos²x，且f（0）=8，f（）=12．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

Answer

（1）直接利用条件 f（0）=8，f（）=12，求出a 和b的值．
（2）由（1）知：f（x）=8sinxcosx+8cos2x，再利用二倍角公式，两角和的正弦公式，可得f（x）=
 8sin（2x+）+4，由此可得f（x）的最大值等于12，此时 2x+=2kπ+，（k∈Z），从而求得x的值．
【解析】
（1）∵f（0）=8，f（）=12，∴2b=8，2a•+2b×=12，
故 a=4，b=4  …（6分） 
（2）由（1）知：f（x）=8sinxcosx+8cos2x  
=4sin2x+4（1+cos2x） …（8分）
=8（sin2x+cos2x）+4 …（9分）
=8sin（2x+）+4 …（10分）
∴f（x）的最大值等于12，此时 2x+=2kπ+，（k∈Z）…（11分）
即 x=kπ+ （k∈Z）时，f（x）有最大值等于12． …（12分）