2010-2011学年广东省实验中学、华师附中、广雅中学、深圳中学四校联考高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合P={-1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（ ）
A．P
B．Q
C．{-1，1}
D．[0，1]

2. 难度：中等

若复数²（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．±1
B．-1
C．0
D．1

3. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

4. 难度：中等

已知函数（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若，则f（x）的取值范围是（ ）
A．
B．[-3，3]
C．
D．

5. 难度：中等

阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（ ）
A．12，2
B．12，3
C．24，2
D．24，3

6. 难度：中等

=（ ）
A．π
B．
C．π+1
D．π-1

7. 难度：中等

位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则电子兔移动五次后位于点（-1，0）的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}首项为a，公差为b，等比数列{b_n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得a_m+3=b_n成立，则a_n=（ ）
A．2n+1
B．3n-1
C．5n-3
D．6n-2

二、填空题

9. 难度：中等

在（1+x）³+（1+x）⁴…+（1+x）⁷的展开式中，含x项的系数是    ．（用数字作答）

10. 难度：中等

已知函数，那么不等式f（x）≥1的解集为    ．

11. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是    ．

12. 难度：中等

从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是    （写出所有正确的结论的编号）
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体．

13. 难度：中等

如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f（x），则f（x）在区间[-2，1]上的解析式是    ；（说明：“正三角形PAB沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续；类似地，正三角形PAB也可以沿x轴负方向逆时针滚动）

14. 难度：中等

《坐标系与参数方程》选做题：
已知曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则|MN|的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b²+c²=bc+a²
（1）求∠A；
（2）若，求b²+c²的取值范围．

17. 难度：中等

高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t＞0）在直线上．
（1）求椭圆的标准方程
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

20. 难度：中等

某园林公司计划在一块以O为圆心，R（R为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．
（1）设∠COD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面积S_弓=f（θ）；
（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ．
（参考公式：扇形面积公式，l表示扇形的弧长）

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x^k+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函数f（x）图象上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，记它们的边长是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，探求数列a_n的通项公式，并说明理由．