2010-2011学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷（文科） （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=8mx²（m＜0）的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若3a²+3b²-4c²=0，则直线ax+by+c=0被圆x²+y²=1所截得的弦长为（ ）
A．
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）
A．f（0）+f（2）＜2f（1）
B．f（0）+f（2）≤2f（1）
C．f（0）+f（2）≥2f（1）
D．f（0）+f（2）＞2f（1）

4. 难度：中等

平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

5. 难度：中等

表示双曲线的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

6. 难度：中等

过抛物线y²=8x的焦点，作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=6，则|AB|长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5

7. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

8. 难度：中等

一个圆的圆心在椭圆的右焦点F₂（c，0），且过椭圆中心O（0，0），又与椭圆交于点P，设F₁是椭圆的左
焦点，直线F₁P恰与圆切于P点，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角的弧度数为    ．

12. 难度：中等

已知双曲线9y²-m²x²=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=    ．

13. 难度：中等

设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=    ．

14. 难度：中等

若直线y=a与函数f（x）=x³-3x的图象有三个不同的交点，则a∈    ．

15. 难度：中等

若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为    ．

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知直线l：kx-y-3k=0与圆M：x²+y²-8x-2y+9=0．
（1）求证：直线l与圆M必相交；
（2）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

19. 难度：中等

设抛物线．
（1）求此抛物线的方程；
（2）设直线AB上有一点Q，使得A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，求Q点坐标；
（3）在抛物线上求一点M，使M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小．

20. 难度：中等

椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分线所在直线的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．