2010-2011学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

复数（1+2i）²的共轭复数是    ．

2. 难度：中等

若双曲线的离心率为2，则=    ．

3. 难度：中等

样本数据11，8，9，10，7的方差是    ．

4. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则
φ=    ．

5. 难度：中等

已知集合A={2，5}，在A中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边恰好构成三角形”的概率是    ．

6. 难度：中等

设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=    ．

7. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；
②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；
④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．
其中所有真命题的序号是    ．

8. 难度：中等

已知，且α，β∈（0，π），则α+2β=    ．

9. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，最后输出的S=    ．

10. 难度：中等

已知圆x²+y²=m与圆x²+y²+6x-8y-11=0相交，则实数m的取值范围为    ．

11. 难度：中等

某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是    m（π取3.14，精确到1m）．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则数列{a_n}的前100项的和为    ．

13. 难度：中等

已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c且（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求A；
（2）若B-C=90°，c=4，求b．（结果用根式表示）

16. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，D为C₁C的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A₁BD．

17. 难度：中等

有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d（m）正比于车速v（km/h）的平方与车身长l（m）的积，且车距不得小于一个车身长l（假设所有车身长均为l）．而当车速为60（km/h）时，车距为1.44个车身长．
（1）求通过隧道的最低车速；
（2）在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q最多？

18. 难度：中等

如图，椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B，C两点．
（1）若，求实数λ的值；
（2）设点P为△ACF的外接圆上的任意一点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）设，若对一切n∈N^*，均有，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

设函数．
（1）当k=1时，判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（2）当k=0时，求证：f（x）＞0对一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k为常数，求证：f（x）的极小值是一个与a无关的常数．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离与定直线l：x=-1的距离相等．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A，B，求△AOB的面积．

22. 难度：中等

一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X．
（1）求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；
（2）求X的分布列及X的数学期望．

23. 难度：中等

如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁E=CF=1．
（1）求两条异面直线AC₁与D₁E所成角的余弦值；
（2）求直线AC₁与平面BED₁F所成角的正弦值．

24. 难度：中等

设f（n）=nⁿ⁺¹，g（n）=（n+1）ⁿ，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3，4时，比较f（n）与g（n）的大小．
（2）根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．