Question

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c且（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求A；
（2）若B-C=90°，c=4，求b．（结果用根式表示）

Answer

（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知条件变形后代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据（1）求出的A的度数，利用内角和定理求出B+C的度数，与B-C的度数联立即可求出B和C的度数，由求出的B和C的度数及c的值，利用正弦定理表示出b，然后利用两角和的正切函数公式求出tan75°的值，代入即可求出b．
【解析】
（1）由已知得：（b+c）2-a2=3bc，即b2+c2-a2=bc，
∴cosA==，
∵A是三角形的内角，
∴A=60°；
（2）由得：B=105°，C=15°，
由正弦定理得：=，即b==4tan75°，
∵tan75°=tan（45+30）==2+，
∴b=8+4．