Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，D为C₁C的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A₁BD．

Answer

（1）由题设条件知可连接OD证明DO⊥线AB1，以及AB1⊥A1B，，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）本题采取构造平行四边形的方法证明面外一线与面内一线平行，观察发现，若取M为线段A1O的中点，易证得MECD，即得ϖMEDC，从而得到线面平行的条件MD∥CE，再用线面平行的定理得出结论即可．
【解析】
（1）证明：如图，由已知O是面AB1的中心，
由于面AB1是正方形，故AB1⊥A1B，
连接OD，由于D是中点，可得DA1=DB，由此得等腰三角形DA1B，由于DO是此等腰三角形的中线，故有DO⊥面1AB，由线面垂直的性质定理可得DO⊥线AB1，
由于AB1∩DO=O，AB1，DO⊂平面A1BD，故有AB1⊥平面A1BD；
（2）在图形中取M为线段A1O的中点，连接ME，MD，
由于E为AO的中点，故ME是中位线，所以有MEA1A，
又D是CC1的中点，在正三棱柱ABC-A1B1C1中有CDA1A
故得MECD，即得ϖMEDC
∴MD∥CE，
又DM⊂平面A1BD，CE平面A1BD，
∴EC∥平面A1BD．