2012-2013学年重庆市铜梁中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出    人．

2. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a²，c²，b²成等差数列，则角C的最大值为    ．

3. 难度：中等

在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为    ．

4. 难度：中等

已知圆的参数方程为为参数），直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ+m=0，若圆与直线相切，则实数m=    ．

5. 难度：中等

如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，，∠OAP=30°，则CP=    ．

二、解答题

6. 难度：中等

已知向量，设函数
（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；
（II）若函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象向右平移个单位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值时x的值．

7. 难度：中等

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+3同时满足以下条件：
①f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； ②f′（x）是偶函数；③f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

9. 难度：中等

如图，四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（Ⅰ） 若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；
（II）若点F为线段AB的中点，求二面角B-CE-F的正切值．

10. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

11. 难度：中等

设数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若数列{a_n}满足：a₁=1，且当n≥2，n∈N^*时，
（I） 求b₂，b₃，b₄及b_n；
（II）证明：，（注：）．

三、选择题

12. 难度：中等

设全集U=R，集合M={y∈R|y=2^x，x＞0}，N={x∈R|2x-x²＞0}，则M∩N为（ ）
A．（1，2）
B．（1，+∞）
C．[2，+∞）
D．（-∞，0]∪（1，+∞）

13. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项为3，前3项和为21，则a₃+a₄+a₅=（ ）
A．189
B．84
C．72
D．33

14. 难度：中等

下列说法正确的有（ ）个
①“”是“θ=30°”的充分不必要条件
②若命题p：∃x∈R，x²-x+1=0，则¬p：∀x∈R，x²-x+1≠0
③命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
④已知a，b∈R₊，若log₃a＞log₃b，则．
A．0
B．1
C．2
D．3

15. 难度：中等

某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ）

A．
B．10
C．
D．

16. 难度：中等

已知锐角α满足，则sin2α等于（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

按下列程序框图来计算：

如果输入的x=5，应该运算（ ）次才停止．
A．2
B．3
C．4
D．5

18. 难度：中等

从9名学生中选出4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为（ ）
A．36
B．96
C．63
D．51

19. 难度：中等

设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

20. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的与x轴交点的个数为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．10

21. 难度：中等

过双曲线的左焦点F（-c，0），（c＞0），作圆：x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

四、填空题

22. 难度：中等

已知复数，是z的共轭复数，则等于    ．