Question

设数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n+1，若数列{a_n}满足：a₁=1，且当n≥2，n∈N^*时，
（I） 求b₂，b₃，b₄及b_n；
（II）证明：，（注：）．

Answer

（I）由b1=1，bn+1=2bn+1，分别令n=1和n=2，先求出b2和b3，再由bn+1=2bn+1，利用构造法求出{bn}的通项公式．
（II）先证明=（n≥2，n∈N*），由该结论得）=2（++…++），再由++…++=1++…+，利用放缩法即可证明结论；
（Ⅰ）【解析】
∵b1=1，bn+1=2bn+1，
∴b2=2×1+1=3，b3=2×3+1=7，b4=2×7+1=15，
∵bn+1=2bn+1，∴bn+1+1=2（bn+1），
所以{bn+1}为公比为2的等比数列，首项为2，
∴bn+1=（b1+1）•2n-1=2•2n-1=2n，
∴bn=2n-1．
（II）证明：a1=1，an=bn（）（n≥2且n∈N*），
∴=++…+，=++…++，
∴-=，∴=，
∴=（n≥2且n∈N*）．
所以）
=×…×
=×…×
=×ׅוan+1
=וan+1=2•
=2（++…++），
而++…++=1++…+，
当k≥2时，=＜=2（），
∴1++…+
=1+2[（-）+（-）+…+（-）
=1+2（-）＜＜．